Segeln

Am Wed, 26 Mar 2008 09:01:26 +0100, schrieb Dirk Thierbach:

> Jörg W. Kremer wrote:
> > Dirk Thierbach schrieb:
> >> Hm, interessant. Da braucht man schon einen Zirkel, der nicht nur
> >> Loecher macht, sondern auch malt, oder? Oder gehts auch anders?
>
> > Das Zauberwort heißt "Pothenotsche Konstruktion":
> > http://www.doc.ic.ac.uk/~mfigl/teaching/pothenot.pdf
>
> Schick. Ich haette die Kreise konstruiert und dann den Schnittpunkt
> bestimmt, aber rechten Winkel suchen geht natuerlich auch mit den
> Dreiecken. Danke.

Ich muß zugeben, daß ich die Erklärung in der URL zunächst nicht
verstanden habe (Was ist der "Durchmesser eines rechtwinkligen
Dreiecks"? In meiner Jugend hießen die Linien, die er benennt,
"Hypothenuse"), obwohl ich das Verfahren als solches durchaus
beherrsche.

Ich versuch es mal verständlich:

Wir fangen an mit der Konstruktion der linken Seite, rechtss geht
hinterher genauso, Benennung der Punkte wie in der URL:

Wir wissen, daß A, B und P auf einem Kreis liegen. Da der
Mittelpunktswinkel (hier: A-M1-B) doppelt so groß ist wie der
Peripheriewinkel (hier: A-P-B) (Spezialfall: Satz des Thales -
Mittelpunktswinkel 180°, Peripheriewinkel 90°) und A-M1-B ein
gleichschenkliges Dreieck, muß der Winkel A-B-M1 gleich B-A-M1 sein und
die Summe beider Winkel gleich dem Ergänzungswinkel des
Mittelpunktwinkels zu 180° (Winkelsumme im Dreieck). Also tragen wir zur
Konstruktion des Mittelpunktes in B einen Winkel von 180° - 2*alpha =
90° - alpha ab. (Wenn alpha größer als 90° ist, trägt man zur von P
abgewandten Seite von AB an, sonst auf der zugewandten Seite. (Wenn
alpha = 90° liegt M1 auf (der Verlängerung von) AB und das Verfahren
funktioniert nicht.))

Ohne die Konstruktion des Mittelpunktes und des Kreises zu beenden,
kommen wir zu der Erkenntnis, daß der B gegenüberliegende Punkt des
Kreises D nach dem Satz des Thales mit B sowohl in P als auch in A
rechte Winkel einschließt. D ist also konstruierbar durch Verlängerung
der Linie B-M1 und Antragung eines rechten Winkels auf AB in A. Analoge
Konstruktion des Punktes E von C aus. Da B sowohl mit D als auch mit E
in P einen rechten Winkel einschließt, muß der Winkel DPE 90° + 90° =
180° betragen, die Linie DPE also eine Gerade sein. Fällt man von B das
Lot auf DE, hat man den Punkt P - ohne einen Zirkel zu brauchen.

Der Witz besteht einfach nur darin, jeweils die rechtwinkligen Dreiecke
BAD, BCE, BPD und BPE zu erkennen. Denn Rest macht Papa Thales.
--
...und tschuess!

Michael
E-mail: M.Ottenbruch@sailor.ping.de

Am Wed, 26 Mar 2008 09:01:26 +0100, schrieb Dirk Thierbach:

> Jörg W. Kremer wrote:
> > Dirk Thierbach schrieb:
> >> Hm, interessant. Da braucht man schon einen Zirkel, der nicht nur
> >> Loecher macht, sondern auch malt, oder? Oder gehts auch anders?
>
> > Das Zauberwort heißt "Pothenotsche Konstruktion":
> > http://www.doc.ic.ac.uk/~mfigl/teaching/pothenot.pdf
>
> Schick. Ich haette die Kreise konstruiert und dann den Schnittpunkt
> bestimmt, aber rechten Winkel suchen geht natuerlich auch mit den
> Dreiecken. Danke.

Ich muß zugeben, daß ich die Erklärung in der URL zunächst nicht
verstanden habe (Was ist der "Durchmesser eines rechtwinkligen
Dreiecks"? In meiner Jugend hießen die Linien, die er benennt,
"Hypothenuse"), obwohl ich das Verfahren als solches durchaus
beherrsche.

Ich versuch es mal verständlich:

Wir fangen an mit der Konstruktion der linken Seite, rechtss geht
hinterher genauso, Benennung der Punkte wie in der URL:

Wir wissen, daß A, B und P auf einem Kreis liegen. Da der
Mittelpunktswinkel (hier: A-M1-B) doppelt so groß ist wie der
Peripheriewinkel (hier: A-P-B) (Spezialfall: Satz des Thales -
Mittelpunktswinkel 180°, Peripheriewinkel 90°) und A-M1-B ein
gleichschenkliges Dreieck, muß der Winkel A-B-M1 gleich B-A-M1 sein und
die Summe beider Winkel gleich dem Ergänzungswinkel des
Mittelpunktwinkels zu 180° (Winkelsumme im Dreieck). Also tragen wir zur
Konstruktion des Mittelpunktes in B einen Winkel von 180° - 2*alpha =
90° - alpha ab. (Wenn alpha größer als 90° ist, trägt man zur von P
abgewandten Seite von AB an, sonst auf der zugewandten Seite. (Wenn
alpha = 90° liegt M1 auf AB und das es gilt: A = D (Satz des Thales).))

Ohne die Konstruktion des Mittelpunktes und des Kreises zu beenden,
kommen wir zu der Erkenntnis, daß der B gegenüberliegende Punkt des
Kreises D nach dem Satz des Thales mit B sowohl in P als auch in A
rechte Winkel einschließt. D ist also konstruierbar durch Verlängerung
der Linie B-M1 und Antragung eines rechten Winkels auf AB in A. Analoge
Konstruktion des Punktes E von C aus. Da B sowohl mit D als auch mit E
in P einen rechten Winkel einschließt, muß der Winkel DPE 90° + 90° =
180° betragen, die Linie DPE also eine Gerade sein. Fällt man von B das
Lot auf DE, hat man den Punkt P - ohne einen Zirkel zu brauchen.

Der Witz besteht einfach nur darin, jeweils die rechtwinkligen Dreiecke
BAD, BCE, BPD und BPE zu erkennen. Denn Rest macht Papa Thales.
--
...und tschuess!

Michael
E-mail: M.Ottenbruch@sailor.ping.de

Am Wed, 26 Mar 2008 09:01:26 +0100, schrieb Dirk Thierbach:

> Jörg W. Kremer wrote:
> > Dirk Thierbach schrieb:
> >> Hm, interessant. Da braucht man schon einen Zirkel, der nicht nur
> >> Loecher macht, sondern auch malt, oder? Oder gehts auch anders?
>
> > Das Zauberwort heißt "Pothenotsche Konstruktion":
> > http://www.doc.ic.ac.uk/~mfigl/teaching/pothenot.pdf
>
> Schick. Ich haette die Kreise konstruiert und dann den Schnittpunkt
> bestimmt, aber rechten Winkel suchen geht natuerlich auch mit den
> Dreiecken. Danke.

Ich muß zugeben, daß ich die Erklärung in der URL zunächst nicht
verstanden habe (Was ist der "Durchmesser eines rechtwinkligen
Dreiecks"? In meiner Jugend hießen die Linien, die er benennt,
"Hypothenuse"), obwohl ich das Verfahren als solches durchaus
beherrsche.

Ich versuch es mal verständlich:

Wir fangen an mit der Konstruktion der linken Seite, rechtss geht
hinterher genauso, Benennung der Punkte wie in der URL:

Wir wissen, daß A, B und P auf einem Kreis liegen. Da der
Mittelpunktswinkel (hier: A-M1-B) doppelt so groß ist wie der
Peripheriewinkel (hier: A-P-B = alpha) (Spezialfall: Satz des Thales -
Mittelpunktswinkel 180°, Peripheriewinkel 90°) und A-M1-B ein
gleichschenkliges Dreieck, muß der Winkel A-B-M1 gleich B-A-M1 sein und
die Summe beider Winkel gleich dem Ergänzungswinkel des
Mittelpunktwinkels (2*alpha) zu 180° (Winkelsumme im Dreieck). Also
tragen wir zur Konstruktion des Mittelpunktes in B einen Winkel von
(180° - 2*alpha)/2 = 90° - alpha ab. (Wenn alpha größer als 90° ist,
trägt man zur von P abgewandten Seite von AB an, sonst auf der
zugewandten Seite. (Wenn alpha = 90° liegt M1 auf AB und das es gilt: A
= D (Satz des Thales).))

Ohne die Konstruktion des Mittelpunktes und des Kreises zu beenden,
kommen wir zu der Erkenntnis, daß der B gegenüberliegende Punkt des
Kreises D nach dem Satz des Thales mit B sowohl in P als auch in A
rechte Winkel einschließt. D ist also konstruierbar durch Verlängerung
der Linie B-M1 und Antragung eines rechten Winkels auf AB in A. Analoge
Konstruktion des Punktes E von C aus. Da B sowohl mit D als auch mit E
in P einen rechten Winkel einschließt, muß der Winkel DPE 90° + 90° =
180° betragen, die Linie DPE also eine Gerade sein. Fällt man von B das
Lot auf DE, hat man den Punkt P - ohne einen Zirkel zu brauchen.

Der Witz besteht einfach nur darin, jeweils die rechtwinkligen Dreiecke
BAD, BCE, BPD und BPE zu erkennen. Denn Rest macht Papa Thales.
--
...und tschuess!

Michael
E-mail: M.Ottenbruch@sailor.ping.de

Michael Ottenbruch wrote:
>> > Das Zauberwort heißt "Pothenotsche Konstruktion":
>> > http://www.doc.ic.ac.uk/~mfigl/teaching/pothenot.pdf

> Ich muß zugeben, daß ich die Erklärung in der URL zunächst nicht
> verstanden habe (Was ist der "Durchmesser eines rechtwinkligen
> Dreiecks"?

Gemeint ist wohl "der Durchmesser des Umkreises des Dreiecks". Ich vergesse
beim Tippen auch immer mal wieder Satzteile ...

> Ich versuch es mal verständlich:

Ich fand es schon sehr verstaendlich :-)

- Dirk